Cortes num cubo - secções por um plano

A intersecção de um cubo (ou outro poliedro) com um plano é um polígono. A esse polígono é comum dar a designação de secção. No caso do cubo, a secção pode ter formas triangulares, quadrangulares, pentagonais e hexagonais.

Triângulos

Para poder vizualizar a animação necessita de instalar o "plu-in" Java (ou uma versão mais actualizada do mesmo). Use o botão da coluna ao lado para fazê-lo.

Para obter uma secção triangular o plano deve intersectar três arestas concorrentes. Os pontos de intersecção (do plano com as arestas são os vértices do triângulo). Arraste os pontos de cor violeta para alterar a secção triangular e os pontos a azul para alterar as dimensões ou a perspectiva do cubo. Consegue representar triângulos equiláteros, isósceles, escalenos, acutângulos, rectângulos e obtusângulos? Serão todos possíveis?

Quadriláteros

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Para obter uma secção quadrandular o plano deve intersectar quatro faces do cubo (ou intersectar três e conter uma aresta, ou ainda intersectar duas e conter duas arestas - paralelas que não pertençam à mesma face). Duas situações diferentes devem ser consideradas: o plano intersecta três faces concorrentes - construção da esquerda - ou o plano pode intersecta quatro arestas parelelas - construção da direita. Arraste os pontos de cor violeta para alterar a secção triangular e os pontos a azul para alterar as dimensões ou a perspectiva do cubo. Consegue representar trapézios, paralelogramos, rectângulos, quadrados, losangos ou outros quadriláteros? Quando a secção é um quadrado o plano divide sempre o cubo em dois poliedros iguais?

Pentágonos

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Para obter uma secção pentagonal o plano deve intersectar cinco faces do cubo. Arraste os pontos de cor violeta para alterar a secção pentagonal e os pontos a azul para alterar as dimensões ou a perspectiva do cubo. A impossibilidade de representar um pentágono regular é fácil de observar com a animação, consegue argumentar a favor dessa impossibilidade? Neste(s) pentágono existem sempre 4 lados paralelos 2 a 2... e num pentágono regular?

Hexágonos

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Para obter uma secção hexagonal o plano deve intersectar todas as faces do cubo. Arraste os pontos de cor violeta para alterar a secção hexagonal e os pontos a azul para alterar as dimensões ou a perspectiva do cubo. Qual a condição a que o plano deve obedecer para que a secção seja um hexágono regular? Consegue calcular a área dessa secção (em função da aresta do cubo)? E o volume dos poliedros resultantes?

As animações apresentadas foram construídas com o programa GeoGebra. Pode obter os ficheiros usados na coluna da esquerda, ou trabalhar no ambiente do programa fazendo duplo clique sobre a animação.